voici le même devoir réédité

On est d'accord pour :
f(x)=(p/x^2)+8p/(l-x)^2

f '(x)=-2xp/x^4 + 2(l-x)8p/(l-x)^4
=-2xp(l-x)^4+16px^4(l-x)/x^4(l-x)^4
=x(l-x)(-2p)(l-x)^3+x(l-x)(16px^3)/x^4(l-x)^4
=x(l-x)(-2p(l-x)^3+16px^3)/x^4(l-x)^4
=-2p(l-x)^3+16px^3/x^3(l-x)^3
=-2p((l-x)^3-8x^3)/x^3(l-x)^3
=-2p((l-x)^3-(2x)^3)/x^3(l-x)^3    Expression (1)
C EST ICI QU ON SE SERT DE L AIDE DE L ENONCE QUI NOUS DIT QUE
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Si on prend le numérateur de l'expression (1) , on a:
-2p((l-x)^3-(2x)^3)
On s'occupe de (l-x)^3-(2x)^3
Si on fait la comparaison avec a^3-b^3 , ici on a :
a=l-x
b=2x
a^2=(l-x)^2=l^2-2xl+x^2
ab=(l-x)2x=2xl-2x^2
b^2=4x^2
a-b=l-x-2x=l-3x

Donc a^3-b^3=(l-x)^3-(2x)^3
=(a-b)(a^2+ab+b^2)
=(l-3x)(l^2-2xl+x^2+2xl-2x^2+4x^2)
=(l-3x)(3x^2+l^2)
Donc l'expression (1) QUI EST CELLE QU ON CHERCHE !!!!!
=-2p(l-3x)(3x^2+l^2)/x^3(l-x)^3
=2p(3x-l)(3x^2+l^2)/x^3(l-x)^3

Cette expression est f '(x)
On cherche la valeur qui l'annule ce qui correspond à résoudre:
2p(3x-l)(3x^2+l^2)=0
2p=0 donc p=0 impossible!!!!!sinon ça ne vaudrait pas le coup d'avoir calculé tout cela
3x-l=0  alors 3x=l  alors x=l/3
3x^2+l^2=0  alors x^2=-l^2/3<0 IMPOSSIBLE BIEN-SUR

Donc S=(l/3)

Si x=l/3 , l'intensité en M est minimale et est égale à 27p/l^2

Bonne soirée:)