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Question

Bonjour, je bloque sur une question dans mon DM
D'après la définition d'un nombre dérivé, quand une fonction f est dérivable en a, on a :
f'(a) = \lim_{h\to 0} f(a+h)-f(a)/h .
On montre que l'égalité précédente est équivalente à l'égalité suivante :
f'(a+h)-f(a)/h = f'(a)+ε(h) avec \lim_{h\to 0} ε(h) = 0.

1) Démontrer l'égalité :
f(a+h) = f(a)+f'(a)hε(h) avec \lim_{h\to 0} ε(h) = 0.
Il y encore quelque question mais je bloque sur la 2)
Pouvez vous m'aidez ?
Merci
Bonjour, je bloque sur une question dans mon DM D'après la définition d'un nombre dérivé, quand une fonction f est dérivable en a, on a : f'(a) = \lim_{h\to 0}

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1 Réponse

  • D'après la définition d'un nombre dérivé, quand une fonction f est dérivable en a, on a : 
    f'(a) = \lim_{h\to 0} f(a+h)-f(a)/h . 
    On montre que l'égalité précédente est équivalente à l'égalité suivante : 
    f'(a+h)-f(a)/h = f'(a)+ε(h) avec \lim_{h\to 0} ε(h) = 0. 

    1) Démontrer l'égalité : 
    f(a+h) = f(a)+f'(a)hε(h) avec \lim_{h\to 0} ε(h) = 0. 

    2) Sur le graphique ci-dessous, justifier les trois quantités indiquées en couleur. 
    [img1] 

    3) Si on néglige le terme hε(h) on peut écrire une approximation de f(a+h) au voisinage de a (c'est-à-dire pour h proche de 0) sous la forme : 
    f(a+h)  f(a) + f'(a)h. 
    On dit que hf(a)+f'(a)h est une "approximation affine" de f(a+h) lorsque h est proche de 0. 
    Justifier l'appellation "approximation affine". 

    4) a. Ecrire cette approximation affine lorsque f est la fonction racine carrée et pour a=1. 
    b. Application numérique : trouver, sans calculatrice, une valeur approchée des réels suivants : 1,02 ; 0,996 . 

    5) a. Ecrire cette approximation affine lorsque f est la fonction inverse et a=2. 
    b. Application numérique : trouver, sans calculatrice, une valeur approchée des réels suivants : 1/2,004 ; 1/1,992 .

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